2012-07-04

CONCHAS MARINHAS

A simplicidade e beleza da sua descrição matemática

Quando o bicho que vive numa concha cresce, é necessário que a concha onde vive também cresça, para o acomodar. O modo de crescimento das conchas permite que a sua forma se mantenha. As medidas dos segmentos que unem o centro da concha aos pontos da concha aumentam, mas as amplitudes dos ângulos formados por esses segmentos e as tangentes à concha mantêm-se, ou seja, as conchas seguem uma espiral equiangular ou logaritmica.

Dado um ponto O, a espiral equiangular é uma curva tal que a amplitude do ângulo formado pela tangente em qualquer dos seus pontos P com a recta OP é constante:

Jacob Bernoulli (1654-1705) chamou a esta curva a Spira mirabilis (espiral maravilhosa). O nome de espiral logaritmica tem a sua origem na sua expressão analítica. Esta expressão é dada, em termos das coordenadas polares r e Q, por
r(Q)=R eQ cot a

onde R é o raio associado a Q=0. Esta expressão indica-nos a distância à origem, O, de um ponto da curva em função de Q . Equivalentemente, a expressão pode ser dada na forma log(r/R)=Q cot a, que é a origem do nome de espiral logaritmica.

Se a amplitude a for 90o, a espiral equiangular é uma circunferência. É claro que o bicho não ficaria muito satisfeito com uma concha circular, porque o não deixaria crescer mais. O ângulo não sendo recto permite que a espiral cresça, o que corresponderá a um alargamento da concha. Este crescimento mantém sempre a forma da concha e chama-se gnomónico. Em geometria, o gnómon (palavra de raiz grega que significa "o que indica" ou "que dá a saber") de uma figura dada é uma segunda figura que, acrescentada ou retirada à primeira, gera uma terceira figura semelhante à original.

Este padrão de crescimento é tão comum que é por muitos chamado de "lei da natureza". A maioria dos cornos dos animais, as garras, os caracóis, entre outros exemplos, também são, basicamente, espirais equiangulares.

FONTE